П.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(9)

где p, q − некоторые числа, r(x) − функция от x.

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение (9), в котором правая часть r(x) равна нулю:

(10)

Общее решение уравнения (9) равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (10).

Опишем сначала способ нахождения общего решения однородного уравнения (10).

Характеристическим уравнением для однородного уравнения называется квадратное уравнение

(11)

относительно неизвестной .

В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

1) D>0. Тогда характеристическое уравнение имеет два различных корня ;

2) D=0. Тогда характеристическое уравнение имеет один корень ;

3) D<0. Тогда действительных корней характеристическое уравнение не имеет. В этом случае находятся числа .

Найдем общее решение уравнения (10) для всех этих случаев.

1) Если характеристическое уравнение (11) имеет два различных корня , то общее решение уравнения (10) имеет вид

(12)

где С1, С2 − произвольные постоянные.

2) Если характеристическое уравнение (11) имеет единственный корень , то общее решение уравнения (10) имеет вид

, (13)

где С1, С2 − произвольные постоянные.

3) Если характеристическое уравнение не имеет корней, то общее решение уравнения (10) имеет вид

, (14)

где С1, С2 − произвольные постоянные.

Примеры:

1. Для уравнения характеристическое уравнение имеет вид . Его различными корнями являются числа . Поэтому общее решение данного уравнения

.

2. Для уравнения характеристическое уравнение имеет вид . Число является его единственным корнем. Поэтому общее решение данного уравнения записывается в виде

.

3. Для уравнения характеристическое уравнение не имеет корней. Находим числа . Поэтому общее решение данного уравнения

.

Способы нахождения частных решений неоднородных уравнений (9) зависит от вида правой части и в явном виде находятся только для функций r(x) специального вида.

(15)

где −некоторые числа, причем − многочлены от х.

В этом случае частное решение уравнения (9) ищется в виде

(16)

где U(x), V(x) − многочлены, степени которых равны наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:

1) s = 0, если

(17)

2) s = 1, если

(18)

Многочлены U(x) и V(x) указанной степени в формуле (16) записываются в общем виде с постоянными коэффициентами. Затем находятся производные и функции (16). После подстановки в уравнение (9) получается линейная система уравнений для определения коэффициентов многочленов U(x) и V(x).

Примеры:

1. найти частное решение уравнения

.

Здесь , наибольшая степень полиномов P(x) и Q(x) равна 1. поскольку , то условие (17) выполняется, поэтому s = 0. Решение (16) будем искать в виде

.

Найдем производные:

или

.

Подставляя полученные значения функции у и ее производной в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при функциях , получаем систему линейных уравнений:

Отсюда

Решением этой системы будут числа

.

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

2. найти частное решение уравнения

Здесь , наибольшая степень полиномов P(x) и Q(x) равна 0.

Поскольку и , то условия (18) выполнены. Поэтому в (16) показатель s = 1, и частное решение ищем в виде

.

Находим производные:

Подставляя полученные значения и в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в правой и левой частях при функциях получаем систему линейных уравнений:

Из этой системы находим .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

.

Пусть теперь правая часть уравнения (9) имеет вид:

(19)

где − некоторое число, P(x) − многочлен от х (этот случай получается из (15) при ).

Частное решение уравнения (9) ищется в виде

(20)

Где U(x) − многочлен с неопределёнными коэффициентами, степень которого равна степени многочлена P(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:

1) s = 0, если

(21)

2) s = 1, если

(22)

1) s = 0, если

(23)

Примеры:

1. найти частное решение уравнения

.

Здесь p = - 6, q = 8, , P(x) = 5x – 13. поскольку , то показатель s в (20) равен 0. Частное решение ищем в виде

.

Находим производные:

Подставляя в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при функциях и , получим систему линейных уравнений

Отсюда А=-5, В=13, и искомое частное решение имеет вид

.

Ряды.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

+ 5 = 13